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2018-07-25 15:45:46 一、概念
容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。简单来说就是要做到不重不漏。此类题目的题目特点为：题中给出多个概念，各个概念之间有集合关联。
二、解题原则
将重复计数的次数变为一次，或者说是把重叠的面积变为一层，做到不重不漏。即先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数量先计算出来，然后再把计数时重复计算的数量剔除掉，把遗漏的数量补上，使得计算结果既无遗漏又无重复。
三、解题方法--公式法
1.两者容斥： 2.三者容斥： 3.容斥极值： 四、经典例题
【例1】某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有多少人?
A.13 B.10 C.5 D.8
【解析】C。根据题目可知题中涉及的项目共有两个，属于二者容斥的问题。直接利用两者容斥的公式将相关数据带入可得： ，求得 。选择C选项。
【例2】学校开设三门选修课，某年级有240人，其中有120人选择英语写作，有95人选择书法，有78人选择精算学，其中有105人选择三种学科中的至少两种，30人三中学科都选择了，问该年级三种都没选的有多少人?
A.122 B.82 C.112 D.216
【解析】B。认真分析题目不难发现题中共出现了三个项目，因此该题为三者容斥问题。在该题中要注意的是题中说有105人选择三种学科中的至少两种，至少两种包含了两种及三种两种情况。因此根据公式结合不重不漏的原则可得： ,将相关数据带入可以求得： 。故选择B。
【例3】一次考试共有200人参加，试卷共5道题，凡答对3题或3题以上就为合格。考试结果为：答错题的28人，答错第二题的42人，打错第三题的30人，答错第四题的32人，答错第五题的18人，则合格的至少有多少人?
A.120 B.175 C.150 D.100
【解析】C。分析题目可知题中涉及的项目较多有5项，且题干要求的是合格人数至少位多少，可以初步判定此为容斥极值问题。但是分析后会发现直接求解合格人数至少有多少无法求解，此时需要反向去求。要求合格人数至少即求不合格人数至多。要求不合格人数最多，根据题目可知当每人只错三题时不合格人数最多。而答错的总题数为： ，所以不合格人数最多为 ，则合格人数至少为： 。选择C选项。
容斥问题在考试过程中若出题较为简单则直接利用公式法求解即可，偶尔也可以结合文氏图进行加以分析帮助思路更加的清晰。而要注意的是在多者容斥极值中需要我们更加的用心和细心的去分析题干。千磨万击还坚劲，任尔东西南北风，因此只要我们将基础打扎实了，多加练习，相信大家都能成功上岸!
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